La dinamica del pendolo semplice

Si può considerare "pendolo semplice" un oggetto appeso mediante un filo di lunghezza l, massa m, di dimensioni trascurabili rispetto alla lunghezza del filo, e soggetto ad oscillazioni di ampiezza s(t), di valore massimo s_{_M} << l, quindi con angoli di oscillazione θ piccoli, tali che si possa porre sen θ θ, e corrispondenti dunque a piccole oscillazioni; con, per esempio, condizione iniziale s(t) → s(0) = s_{_M}.

L'oggetto appeso, assimilabile ad un punto materiale, viste le ipotesi fatte, è assimilabile ad un punto materiale, che in quiete occuperà una posizione di equilibrio che si può assumere come s(0) = 0, e tendendendo a rimanere in quiete; se invece, come detto prima, la condizione iniziale è s(0) = s_{_M}, si svilupperà una forza di richiamo, data da
mg sen θ, tangente alla traiettoria (verticale alla direzione del filo di lunghezza l ), che tenderà a riportarlo nella condizione di equilibrio s(0) = 0, ma finendo per farlo oscillare intorno ad essa.
La situazione che si viene a creare è allora quella tipica di un moto periodico armonico.

L'equazione è naturalmente quella generale data dal Secondo Principio della Dinamica, vale a dire F = ma, dove a = g sen θ e quindi
F = m g sen θ; e poichè F = m d²s dt² , si può scrivere m d²s dt² = - m g sen θ, dove il segno negativo sta ad indicare che l'accelerazione ha segno opposto rispetto alla variazione di s, nel senso che l'accelerazione produce una diminuzione di s.
L'equazione differenziale del secondo ordine quindi è d²s dt² + g sen θ = 0 che si può esprimere in funzione della sola variabile θ, poichè si sa che
s = θ · l , così che risulta l · d²θ dt² + g sen θ = 0 → d²θ dt² + g l sen θ = 0 ed essendo un moto armonico si può porre ω² = g l e così

l'equazione diventa d²θ dt² + ω² sen θ = 0, cioè una equazione differenziale del secondo ordine, a coefficienti non costanti, che può essere semplificata, ricordando che per ipotesi si tratta di piccole oscillazioni, per le quali, come detto, si può porre sen θ θ , così che si ottiene d²θ dt² + ω² θ = 0 o anche, poichè θ = s l → d²s dt² + ω² s = 0, che è un'equazione differenziale ordinaria (non alle derivate parziali), omogenea e a coefficienti costanti, il il cui integrale generale è dato da s(t) = A_₁e^α_₁t + A_₂e^α_₂t dove α_₁ e α_₂ sono le soluzioni dell'equazione algebrica caratteristica ottenuta sostituendo alle derivate (anche di ordine zero, cioè alla funzione s(t)) potenze di α di grado pari all'ordine della derivata sostituita; quindi d²s dt² → α² (alla derivata del secondo ordine si sostituisce la potenza di 2° grado) e s(t) → α⁰ = 1, ottenendosi

α² + ω² = 0 → α_{_1,2} = ±iω e quindi s(t) = A_₁e^{i ωt} + A_₂e^{-i ωt} con i = √-1 cioè l'unità immaginaria che definisce i numeri immaginari e complessi.

Dove gli esponenziali complessi possono essere sostituiti usando la formula di Eulero →

s(t) = A_₁(cos ωt + i sen ωt) + A_₂(cos ωt - i sen ωt) = (A_₁ + A_₂) cos ωt + i (A_₁ - A_₂) sen ωt

Ponendo

A_₁ = A_{_M} 2 · e^{i φ} = A_{_M} 2 · (cosφ + i senφ) ed inoltre A_₂ = A_{_M} 2 · e^{-i φ} = A_{_M} 2 · (cosφ - i senφ)

si ottiene

s(t) = (A_₁ + A_₂) cos ωt + i (A_₁ - A_₂) sen ωt = A_{_M} 2 · (cosφ + i senφ) + A_{_M} 2 · (cosφ - i senφ) cosωt + i A_{_M} 2 · (cosφ + i senφ) - A_{_M} 2 · (cosφ - i senφ) senωt

vale a dire, togliendo le parentesi moltiplicando e semplificando

s(t) = A_{_M} cosφ cos ωt + A_{_M} senφ sen ωt = A_{_M} (cosφ cos ωt + senφ sen ωt) = A_{_M} cos (ωt - φ)

dove, per quanto posto precedentemente, risulta A_{_M} = s_{_M}, e quindi si può scrivere s(t) = s_{_M} cos (ωt - φ), avendo indicato con s_{_M} l'ampiezza massima dell'oscillazione.

Calcoliamo la velocità istantanea del moto armonico di oscillazione

v = - ds dt = - s_{_M} · d dt [cos(ωt - φ)] = ω s_{_M} sen (ωt - φ)

dove il segno meno sta ad indicare che la velocità aumenta quando lo spostamento s, dalla posizione di equilibrio, diminuisce, e viceversa.
Di conseguenza l'energia cinetica istantanea è

E_{_c}(t) = 1 2 mv² = 1 2 m ω² s_{_M}² · sen²(ωt - φ)

Per calcolare come varia l'energia potenziale, assumendo uguale a ZERO quella a riposo, per s = 0, occorre fare l'integrale del "lavoro" di spostamento quando il pendolo passa dalla posizione iniziale s = 0 a quella finale s = s_{_M} di massimo spostamento; mentre quella istantanea è data dall'integrale indefinito

E_{_p}(t) = F ds = mg senθ ds = mg θ ds = mg · s l ds = m g l s ds = m ω²s ds = 1 2 m ω² s² = 1 2 m ω² s_{_M}² cos² (ωt - φ)

Con queste formule si può calcolare l'energia meccanica totale, che, essendo un campo conservativo (quello dell'energia potenziale terrestre) e senza attriti (pendolo ideale), deve essere costante; ed infatti

E_{_t} = E_{_p}(t) + E_{_c}(t) = 1 2 m ω² s_{_M}² cos² (ωt - φ) + 1 2 m ω² s_{_M}² · sen²(ωt - φ) = 1 2 m ω² s_{_M}² [cos² (ωt - φ) + sen² (ωt - φ)] = 1 2 m ω² s_{_M}²

Giova ricordare che il periodo dell'oscillazione, solitamente indicato con T, si ottiene dalla pulsazione ω, con la formula T = 2π ω = 2π √l √g
Nel campo gravitazionale conservativo c'� un continuo "travaso" di energia da quella potenziale a quella cinetica, e viceversa, con la meccanica totale che resta costante.
Ovviamente l'energia in gioco dipende da s_{_M}, una delle condizioni iniziali quando si sposta il pendolo dalla posizione di equilibrio; la pulsazione ω dipende invece dalla lunghezza del pendolo.